2导数的运算（第1页）

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.2导数的运算

一般的初等函数用导数的定义求是非常麻烦的，本节将介绍求导数的几个基本法则，借助于求导公式和法则，就能较方便地求出初等函数的导数.

一、　函数的和、差、积、商的求导法则

定理221设函数u=u（x）和v=v（x）在点x处都可导，则函数u（x）±v（x），u（x）v（x），u（x）v（x）在点x处也可导，则有

（1）　［u（x）±v（x）］′=u′（x）±v′（x）.

该法则可以推广到任意有限个可导函数之和（差）的情形.如:（u+v－w）′=u′+v′－w′.（2）　［u（x）v（x）］′=u′（x）v（x）+u（x）v′（x）.

特别地，［cu（x）］′=cu′（x）.

该法则也可推广到任意有限个可导函数之积的情形.如:（uv′.（3）　u（x）v（x）′=u′（x）v（x）－u（x）v′（x）v2（x）（v（x）≠0）.

特别地，1v（x）′=－v′（x）v2（x）（v（x）≠0）.注

意（uv）′≠u′v′，uv′≠u′v′.例221求下列函数的导数：

（1）　y=2x－3x+35；（2）　y=xlnx－xsinx.

解（1）　y′=2x′－（3x）′+（35）′

=21x′－（3x）′+3（5）′

=－2x2－3xln3－3sinx.

（2）　y′=（xlnx）′－xsinx′

=（x）′lnx+x（lnx）′－（x）′sinx－x（sinx）′sin2x

=lnx+1－sinx－x2x.

例222设y=tanx，求y′.

解y′=（tanx）′=sinxx）′x（cosx）′cos2x=2xcos2x=1cos2x=sec2x.

即（tanx）′=sec2x.注

意这里用到了三角公式secx=1cosx.类似的，可得到（cotx）′=－csc2x.

例223设y=secx，求y′.

解y′=（secx）′=1cosx′=－（cosx）′xcos2x=sex.

即得正割函数的导数公式：（secx）′=sex.类似，可得余割函数的导数公式：（cscx）′=－cscxcotx.例224求函数y=sinx+2x的导数.

解化简y=sinx+2x=sinx+xcosx=12（secx+cscx），可避免用商的求导法则，所以y′=12（secx+cscx）′=12sex－12cscxcotx.注

意这里用到了三角公式secx=1cosx，x.有些函数在求导前，可以先化简再求导，以简化求导的计算过程.

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