二（第1页）

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（二）

这类题目的算法，在西洋数学中叫作积弹（PilesofShot）和拟形数（Figuratenumbers），又叫拟形级数（Figurateseries）。[29]中国叫垛积，旧数学中和它类似的算法，属于“少广”一类。最早的见于朱世杰的《四元玉鉴》中“茭草形段”“如像招数”和“果垛叠藏”各题，后来郭守敬、董祜诚、李善兰这些人的著作中把它讲得更详细。

这里我们先说大家从西洋数学中容易找到的积弹。积弹的计算法，已有一定的公式，因了堆积的方法不同分为四类：如图41各层是成正方形的，图42各层是成正三角形的，图43各层是成矩形的，但这三种到顶上都是尖的。图44，各层都成矩形而顶上是平的，用数学上的名字来说，第一是正方锥，第二是正三角锥，第三侧面是等腰三角形，正面是等腰梯形，第四侧面和正面都是等腰梯形。

所谓积弹，一般是知道了层数计算总数，在这里且先将各公式写出来。

（1）设n表示层数，也就是王老头子的汤团底层每边的个数，若王老头子的汤团是照图41的形式堆，则汤团的总数是：

所以，若是王老头子的那盘汤团有十层，那就是n等于10，因此，

（2）若王老头子的汤团是照图42的形式堆，那么，

所以，他若是也只堆十层，总数便是：

（3）图43中，这一种不但和层数有关系，并且同着顶上一层的个数也有关系，设顶上一层有p个，则

举个例子说，若顶上一层有五个，一共有十层，就是p等于5，n等于10，则

（4）自然图44中这种和第一层的个数也有关系，而第一层既然也是矩形，它的个数就和这矩形的长阔两边的个数有关。设顶上一层长边有a个，阔边有b个，则

举个例子说，若第一层的长边有五个，阔边有三个，一共有十层，就是a等于5，b等于3，n等于10；则

不用说，已经有公式，只要照它计算出一个总数，这是很容易。不过我们的问题是这公式怎样得来的。

要证明这公式，我们有三种方法。

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